1. 在控制系統之教程中，經常將物理系統之時域（time domain）動態方程式利用拉氏轉換（Laplace transform）轉換至S領域（S domain）中進行研析，例如轉移函數（transfer function）等。請說明此「拉氏轉換」的作用（目的）為何？

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2. 某一系統之步階響應（step response）為－e^－t （t＋1），試求該系統對輸入信號u(t)＝e^－2t 之時間響應（time response）為何？

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3. 某一轉移函數為，輸入為u(t)＝sin(2t)之系統，則y(t)之穩態響應為何？

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4. 圖C為控制系統G_p(s)的頻率響應大小近似圖，若G_p(s)為極小相系統，請計算出G_p(s)的轉移函數為何？


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如圖D所示某無時間延遲純一階之製程（true first order process without dead time）G_P(s)，其process gain Kp＝1，time constant τ_P＝1，該製程（process）由P-only之控制器控制，控制器之增益為K_C；即G_C (S)＝K_C；（K_C≥0）
(a)請寫出該製程（process）之轉移函數G_P(s)。
(b)求出該系統閉迴路轉移函數之特性方程式（characteristic equation），並繪出Kc由0→∞時，該系統之根軌跡圖。並說明控制器之K_C增大時，是否會使該系統輸出產生振盪之現象？

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承上題，若該製程（process）G_P(s)改變為具時間延遲之一階製程（first order plus dead time; FOPDT），其process gain Kp＝1，time constant τP＝1，dead time θ＝0.1，同樣由P-only之控制器控制。
(a)請寫出該製程（process）之轉移函數G_P(s)。
(b)求出該系統閉迴路轉移函數之特性方程式（characteristic equation），並計算K_C於0、3.0345、21、50時，該系統之極點（pole）位置（以直角座標表示）。提示：
(c)依(b)項所求之結果，繪出K_C增加時之軌跡圖，並說明K_C大於何值後，系統會開始不穩定？並說明原因。

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